Круг — часть плоскости, которая лежит внутри окружности[1]. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа Число называется радиусом этого круга[2]. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Круг, имеющий толщину (незначительную по сравнению с радиусом), нередко называют диском[3].

Круг, граничная окружность и радиус

Границей круга по определению является окружность. Открытый круг (внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра . При нестрогом () неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Связанные определенияПравить

  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с его границей.
  • Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
  • Сектор — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
  • Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность[1].

СвойстваПравить

  • При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
  • Круг является выпуклой фигурой.
  • Площадь круга радиуса   вычисляется по формуле:  , где   ≈ 3.14159….
  • Площадь сектора равна  , где α — угловая величина дуги в радианах,   — радиус.
  • Периметр круга (длина граничной окружности):  .
  • (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

ИсторияПравить

История исследования свойств круга и окружности, а также применение этих свойств в человеческой практике уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Ещё в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей.

Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие исследований привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

ОбобщенияПравить

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть  , то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами  .

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 228.
  2. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1983. — С. 193. — 480 с.
  3. См. в Вики-словаре

ЛитератураПравить