Замкнутое множество — в геометрии, топологии и других связанных областях математики, множество , дополнение которого является открытым множеством[1]. Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году[2].

Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение

править

Пусть дано топологическое пространство  , тогда следующие утверждения эквивалентны:

  1. Множество   замкнуто в  .
  2.  , является открытым подмножеством  , то есть  .
  3.   совпадает со своим замыканием в  .
  4.   содержит все свои предельные точки.
  5.   содержит все свои граничные точки.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве   содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества  [3].

Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью последовательностей и сетей. Так, множество   топологического пространства   замкнуто в   тогда и только тогда, когда любой предел всякой сети из   также лежит в  . В пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности (в том числе метрических пространствах) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить пространства сходимости[англ.] — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства  , так как сходимость последовательности или сети зависит от точек, содержащихся в  . Будем говорить, что точка   близка к множеству  , если  , где   означает замыкание   в   Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества:

множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки.

В терминах сходимости сетей, точка   близка к  , только если существует сеть в  , сходящаяся к  .

Замкнутые множества можно также определить через непрерывные функции: отображение   непрерывно тогда и только тогда, когда  , то есть близкие точки   при   переводятся в близкие точки образа  .

Подробнее о замкнутых множествах

править

Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.

Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Так, например, компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми» в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства   в произвольное хаусдорфово пространство  ,   будет всегда замкнуто в  . В этом смысле, компактификация Стоуна-Чеха может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.

Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство   компактно тогда и только тогда, когда всякое семейство непустых замкнутых подмножеств   с пустым пересечением допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.

Топологическое пространство   несвязно, если существуют непересекающиеся непустые открытые множества  , объединение которых есть  .

Свойства

править
  • Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей.
  • Любое пересечение счётного количества замкнутых множеств также замкнуто.
  • Объединение конечного количества замкнутых множеств замкнуто.
  • Само множество и пустое множество являются замкнутыми.

Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются F-сигма-множествами или  .

Примеры

править
  • Замкнутый промежуток   числовой прямой замкнут.
  • Единичный отрезок   замкнут в метрическом пространстве над  , и множество   замкнуто в  , но открыто в  .
  • Множество   ни замкнуто, ни открыто.
  • Луч   замкнут.
  • Канторово множество является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом нигде не плотным.
  • Одноточечные множества замкнуты в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, и хаусдорфовых пространствах.
  • Множество целых чисел   является бесконечным и неограниченным замкнутым множеством в  .
  • Отображение   между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств   замкнуты в  .

См. также

править

Примечания

править
  1. Munkres, James R. Topology. — 2nd. — Prentice Hall, 2000. — ISBN 0-13-181629-2.
  2. G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.
  3. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

Литература

править
  • Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. Convergence Foundations Of Topology (англ.). — New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. — ISBN 978-981-4571-52-4.
  • Dugundji, James. Topology (англ.). — Boston: Allyn and Bacon, 1966. — ISBN 978-0-697-06889-7.
  • Schechter, Eric. Handbook of Analysis and Its Foundations (англ.). — San Diego, CA: Academic Press, 1996. — ISBN 978-0-12-622760-4.