Открыть главное меню

Замкнутое множество

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство  . Множество   называется замкнутым относительно топологии  , если существует открытое множество   такое, что  .

ЗамыканиеПравить

Замыканием множества   топологического пространства   называют минимальное по включению замкнутое множество  , содержащее  .

Замыкание множества   обычно обозначается  ,   или  ; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что   рассматривается как множество в пространстве  .

СвойстваПравить

  • Множество   замкнуто тогда и только тогда, когда  .

ПримерыПравить

  • Пустое множество   всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
  • Отрезок   замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
  • Множество   замкнуто в пространстве рациональных чисел  , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел  .

Вариации и обобщенияПравить

  • Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве    содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества   [1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

ЛитератураПравить

  • Завало С. Т.  Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Фихтенгольц Г. М.  Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.