Замкнутое множество

Замкнутое множество — подмножество $V$ топологического пространства $X$ с топологией ${\mathcal {T}}$, дополнение к которому открыто: $X\setminus V\in {\mathcal {T}}$. Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году.

Пустое множество $\varnothing$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb {R}$.

Замыкание множества $U$ топологического пространства $X$ — минимальное по включению замкнутое множество $Z$, содержащее $U$. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве $F$  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества $F$.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — 388 с.