Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, параболы, гиперболы).

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зелёным цветом), 4 — дуга

Хорда находится на секущей прямой — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется сегментом, а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорд окружности

править
 
Если хорда   равна хорде  , то дуга   равна дуге  . Если хорда   параллельна хорде  , то дуга   равна дуге  

Хорда и расстояние до центра окружности

править
  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
  • Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
  • Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром.
  • Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
  • Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Хорда и диаметр

править
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
  • Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
  • Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.

Хорда и радиус

править
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
  • Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
  • Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и вписанный угол

править
  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
  • Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
  • Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
  • Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Хорда и центральный угол

править
  • Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
  • Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
  • Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
  • Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга

править
  • Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
  • Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
  • Из дуг, меньших полуокружности, бо́льшая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
  • Из дуг, меньших полуокружности, бо́льшая хорда стягивает бо́льшую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
  • Из дуг, бо́льших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, бо́льшая дуга стягивается меньшей хордой.
  • Из дуг, бо́льших полуокружности, бо́льшая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает бо́льшую дугу.
  • Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
  • Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства

править

 
Рис. 1.  
  • При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1):  .
  • Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

Свойства хорд эллипса

править

Основные формулы

править

 
Рис. 2

 
Рис. 3
  • Длина хорды равна  , где   — радиус окружности,   – диаметр окружности,  центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
  • Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3):  , где   — длина хорды,   — радиус окружности,   — расстояние от центра окружности до хорды.
  • Если известны все четыре длины отрезков двух пересекающихся хорд, например,   (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:
 
при ограничениях:  .
Здесь   — угол между отрезками   и   (или между отрезками   и  ) .
В случае, когда хорды взаимно перпендикулярны,
 

Связанные понятия

править

Ссылки

править