Открыть главное меню

Касательная прямая

(перенаправлено с «Касательная»)
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Содержание

Строгое определениеПравить

  • Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки  , и дифференцируема в ней:  . Касательной прямой к графику функции   в точке   называется график линейной функции, задаваемый уравнением
     .
  • Если функция   имеет в точке   бесконечную производную   то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
     

ЗамечаниеПравить

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку  . Угол   между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

 

где   — коэффициент наклона касательной. Производная в точке   равна угловому коэффициенту касательной к графику функции   в этой точке.

Касательная как предельное положение секущейПравить

Пусть   и   Тогда прямая линия, проходящая через точки   и   задаётся уравнением

 

Эта прямая проходит через точку   для любого   и её угол наклона   удовлетворяет уравнению

 

В силу существования производной функции   в точке   переходя к пределу при   получаем, что существует предел

 

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

 

Прямая, проходящая через точку   и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий   задаётся уравнением касательной:

 

Касательная к окружностиПравить

 
Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

СвойстваПравить

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщенияПравить

Односторонние полукасательныеПравить

  • Если существует правая производная   то пра́вой полукаса́тельной к графику функции   в точке   называется луч
 
  • Если существует левая производная   то ле́вой полукаса́тельной к графику функции   в точке   называется луч
 
  • Если существует бесконечная правая производная   то правой полукасательной к графику функции   в точке   называется луч
 
  • Если существует бесконечная левая производная   то правой полукасательной к графику функции   в точке   называется луч
 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить