Открыть главное меню
Касательное пространство и касательный вектор , вдоль кривой , проходящей через точку

Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

ОпределенияПравить

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривыхПравить

Пусть   — гладкое многообразие и  . Рассмотрим класс   гладких кривых   таких, что  . Введём на   отношение эквивалентности:   если

 

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей  .

Элементы касательного пространства   определяются как  -классы эквивалентности  ; то есть

 .

В карте такой, что   соответствует началу координат, кривые из   можно складывать и умножать на число следующим образом

 
 

При этом результат остаётся в  .

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности  . Более того, индуцированные на   операции уже не зависят от выбора карты. Так на   определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точкеПравить

Пусть   -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию   в точке   называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов   сопоставляющих каждой гладкой функции   число   и удовлетворяющих следующим двум условиям:

  •  -линейность:  
  • правило Лейбница:  

На множестве всех дифференцирований в точке   возникает естественная структура линейного пространства:

  •  
     

ЗамечанияПравить

  • В случае  -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
      если  
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей  .
  • В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
  • Пусть  . Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для  . Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

СвойстваПравить

  • Касательное пространство  -мерного гладкого многообразия является  -мерным векторным пространством
  • Для выбранной локальной карты  , операторы   дифференцирования по  :
     
представляют собой базис  , называемый голономным базисом.

Связанные определенияПравить

  • Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщенияПравить

Алгебраическое касательное пространствоПравить

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для  -дифференцируемых многообразий,  ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть   -дифференцируемое многообразие,  кольцо дифференцируемых функций из   в  . Рассмотрим кольцо   ростков функций в точке   и каноническую проекцию  . Обозначим через   ядро гомоморфизма колец  . Введем на   структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма  ,   и будем далее отождествлять   и  . Имеет место равенство  [1]. Обозначим через   подалгебру  , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке   в каждой карте; обозначим  . Заметим, что  .

Рассмотрим два векторных пространства:

  •   — это пространство имеет размерность   и совпадает с определённым ранее касательным пространством к   в точке  ,
  •   — это пространство изоморфно пространству дифференцирований   со значениями в  , его называют алгебраическим касательным пространством[2]   в точке  .

Если  , то   имеет размерность континуум, а   содержит   как нетривиальное подпространство; в случае   или   эти пространства совпадают (и  )[3]. В обоих случаях   можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований   со значениями в  , для вектора   формула   задаёт инъективный гомоморфизм   в пространство дифференцирований   со значениями в   (структура вещественной алгебры на   задается аналогично  ). При этом в случае   получается в точности определение, данное выше.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a   Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.