Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции или ее аргумента.
Обозначения
правитьОбычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.
Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.
Использование знака дифференциала
править- Знак дифференциала используется в выражении для интеграла . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал вводится как часть определения интеграла[источник не указан 2457 дней].
- Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции и тождественной функции верно соотношение:
Определения
правитьДля функций
правитьДифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция
где обозначает производную в точке , а — приращение аргумента при переходе от к .
Таким образом есть функция двух аргументов .
Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция , линейно зависящая от , и для которой верно следующее соотношение
Для функции нескольких переменных
правитьДифференциалом отображения в точке называют линейное отображение такое, что выполняется условие
Связанные определения
править- Отображение называется дифференцируемым в точке , если определён дифференциал .
Свойства
править- Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
- Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
- Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением
История
правитьТермин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.
Вариации и обобщения
правитьПонятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.
Литература
править- Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»