Открыть главное меню

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции.

Содержание

ОбозначенияПравить

Обычно дифференциал функции   обозначается  . Некоторые авторы предпочитают обозначать   шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке   обозначается  , а иногда   или  , а также  , если значение   ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке   от   может обозначаться как  , а иногда   или  , а также  , если значение   ясно из контекста.

Использование знака дифференциалаПравить

  • Знак дифференциала используется в выражении для интеграла  . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал   вводится как часть определения интеграла[источник не указан 455 дней].
  • Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной  . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции   и тождественной функции   верно соотношение
     

ОпределенияПравить

Для функцийПравить

Дифференциал функции   в точке   может быть определён как линейная функция

 

где   обозначает производную   в точке  , а   — приращение аргумента при переходе от   к  .

Таким образом   есть функция двух аргументов  .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция  , линейно зависящая от  , и для которой верно следующее соотношение

 

Для отображенийПравить

Дифференциалом отображения   в точке   называют линейный оператор   такой, что выполняется условие

 

Связанные определенияПравить

  • Отображение   называется дифференцируемым в точке   если определён дифференциал  .

СвойстваПравить

  • Матрица линейного оператора   равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные  .
    • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции   связан с её градиентом   следующим определяющим соотношением
     

ИсторияПравить

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально   применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщенияПравить

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

ЛитератураПравить

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»