Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

.

Дифференциал высшего порядка функции одной переменнойПравить

Для функции, зависящей от одной независимой переменной   второй и третий дифференциалы выглядят так:

 ,
 .

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  , при условии, что   — независимая переменная:

 .

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что   есть произвольное и не зависящее от   , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель. Если   не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже)[1].

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменныхПравить

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  .

 
 
 
 

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции   выглядит следующим образом:

 

где  , а   произвольные приращения независимых переменных  .
Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядкаПравить

При    -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение   зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная   как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,  .

Так, для независимой переменной   второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

 

Если же переменная   сама может зависеть от других переменных, то  . В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид[1]:

 .

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

 .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При   и   :

  • если   — независимая переменная, то  
  • если   и  
    1.  
    2. при этом,   и  

С учётом зависимости  , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

ДополненияПравить

  • С помощью дифференциалов, функция   при условии существования её   первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:
  ,  ;
  • для функции с несколькими переменными:
  ,  
  • Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции   является положительно определённым (отрицательно определённым), то точка   является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции   является неопределённым, то в точке   нет экстремума.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Баранова Елена Семеновна, Васильева Наталья Викторовна, Федотов Валерий Павлович. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 2-е изд.. — "Издательский дом ""Питер""", 2012. — С. 196-197. — 400 с. — ISBN 9785496000123.

ЛитератураПравить

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1