Открыть главное меню

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.
Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Содержание

ОбозначениеПравить

Следует обратить внимание, что обозначение   следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной  , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции:  , где   частный дифференциал функции   по переменной  . Часто непонимание факта цельности символа   является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение   в выражении   [1].

Геометрическая интерпретацияПравить

Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции   в точке   по координате   равна производной   по направлению  , где единица стоит на  -м месте.

ПримерыПравить

 
Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

 

Частная производная объёма V относительно радиуса r

 

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма  , а измерения длины  , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма  , т.е. изменение величины радиуса на 1   будет соответствовать изменению объёма конуса на    .

Частная производная относительно h

 

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

 

и

 

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

 

Это даёт полную производную относительно r:

 

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»