Частная производная

В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Частная производная функции $f$ по переменной $x$ обычно обозначается ${\tfrac {\partial f}{\partial x}}$, $f_{x}$ или $D_{x}f$. В случае если переменные нумерованы, например $x_{1},\dots ,x_{n}$ используются также обозначения $f_{i}$ и $D_{i}f$.

В явном виде частная производная функции $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ в точке $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ определяется следующим образом:

${\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n})}{\Delta x}}.$

Оператор \ Функция	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Дифференциал	1: $\operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Частная производная (первая производная)	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Полная производная (вторая производная)	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Обозначение

Следует обратить внимание, что обозначение ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной ${\frac {df}{dx}}$, которую можно представить как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$, где $d_{x}f$ — частный дифференциал функции $f$ по переменной $x$. Часто непонимание факта цельности символа ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $\partial x$ в выражении ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$ .

Геометрическая интерпретация

Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции $f$ в точке ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ по координате $x_{k}$ равна производной ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}$ по направлению ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, где единица стоит на $k$-м месте.

Примеры

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},$

Частная производная объёма V относительно радиуса r

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма $m^{3}$, а измерения длины $m$, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма $m^{3}/m$, т.е. изменение величины радиуса на 1 $m$ будет соответствовать изменению объёма конуса на ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$.

Частная производная относительно h

${\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},$

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Полная производная V относительно r и h

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}$

и

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}$

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

$k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.$

Это даёт полную производную относительно r:

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}$

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также

• Смешанная частная производная