Смешанная частная производная

Определение

Пусть функция $z=f(x,\;y)$, и её частные производные

${\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}}$

определены в некоторой окрестности точки $(x_{0},\;y_{0})$. Тогда предел

$\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x}}}}{\Delta y}},$

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции $f(x,\;y)$ в точке $(x_{0},\;y_{0})$ и обозначается ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$.

Аналогично определяется ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}$ как

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y}}}}{\Delta x}},$

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.^{[уточнить]}

Обозначение

• ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}=f''_{yx}=z''_{yx}$
• ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=f''_{xy}=z''_{xy}$

Свойства

• Если смешанные производные непрерывны в точке, то имеет место равенство ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ .

Пример Шварца

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial x\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x}}$

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Основная статья: Равенство смешанных производных

Пусть выполнены условия:

1. функции $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ определены в некоторой окрестности точки $(x_{0},\;y_{0})$.
2. ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ непрерывны в точке $(x_{0},\;y_{0})$.

Тогда ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

• Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ смешанные производные второго порядка равны всюду (в том числе и в точке $(0,\;0)$), однако частные производные второго порядка не являются непрерывными в точке $(0,\;0)$

Доказательство

Так как $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$, то ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,\;0)=0$

В остальных точках

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;y)={\frac {2xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

Таким образом,

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Следовательно,

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

При $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}$

Легко видеть, что вторая смешанная производная имеет разрыв в точке $(0,\;0)$, так как

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;x)=1$, а, например,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;-x)=-1$

.