Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

Теорема править

Определение смешанной производной править

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция   многих переменных:

 

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов  , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

 

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение   в общем случае зависит от тех же переменных  , что и оригинальная функция  :

 

Если функция   окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу  :

 

Если  , то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы править

Для гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

 

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости править

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

  • 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
  • 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:
 
  • 3. Поскольку для фиксированных индексов   все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент   является константой, то функция   (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:
 

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы править

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения   на  , то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

 

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

 
 

Пусть в точке   существует смешанная производная:

 

Предположим, что смешанная производная   существует в точке  , а также существует первая производная   вдоль (горизонтальной) прямой  .

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

 

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

 

Нужно, чтобы существовала частная производная   вдоль прямой  .

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

 

Как видно, надо, чтобы частная производная   существовала не только на прямой  , но в некоторой двухмерной окрестности точки  .

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель  :

 

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

 

Средняя точка является функцией:

 ,

значения которой лежат в интервале (если, например,  )

 

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной   в некоторой двухмерной окрестности точки  .

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке   как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке   равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке  :

 

Смешанная производная   существует в двухмерной окрестности точки   и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

 

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое   является константой по переменной интегрирования  , то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

 
 

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

 
 

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число  . Непрерывность смешанной производной   в точке   означает, что существует такое положительное число  , что для каждой точки   внутри квадрата   справедливо неравенство:

 

Если мы возьмём положительные числа  , то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

 

Обозначим это слагаемое  

 

Аналогично (если взять  ), имеем оценку снизу:

 

Поскольку положительное число   может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует  . Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции править

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например,  ) в точке, а также существование второй смешанной производной   в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной   вдоль отрезка прямой   и существование производной   в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование   в точке   следует из двух фактов: (а) существует производная   вдоль отрезка прямой  , проходящей через точку  , (б) смешанная производная   существует и непрерывна в этой точке.

Пример править

Рассмотрим функцию

 

где функция Дирихле   равна нулю в рациональных точках   и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой   и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

 

а также одна из смешанных производных:

 

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой  :

 

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

 

Как видим, для точек прямой   условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример править

Рассмотрим функцию двух переменных  

 

где буквами   обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат  . Мы можем доопределить функцию   в начале координат

 

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя  ):

 

Покажем, что для этой доопределённой функции   смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные  . Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

 
 

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции   в точке плоскости, отличной от начала координат ( ):

 
 

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

 

Аналогично

 

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

 

Аналогичное вычисление даёт:

 

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

 

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

 

Упрощенное доказательство для аналитических функций править

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

 

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

 
 

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

 

См. также править

Литература править

  • Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics (неопр.). — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104.
  • Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (англ.). — World Scientific, 2008. — ISBN 978-981-279-170-2.