Открыть главное меню

Функция Дирихле

Функция Дирихле́ — функция, принимающая единицу на рациональных значениях, и нуль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.

Символически, определяется как функция следующим образом[1]:

.

СвойстваПравить

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[2][3]:

 .

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода.

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.

Не является интегрируемой в смысле Римана[4]. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщенияПравить

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также «функцией Тома» (Thomae).

ПримечанияПравить

  1. Никольский, 1983, с. 357.
  2. Dunham, 2005, с. 197.
  3. Рудин, 1976, с. 162 Пример 7.5.
  4. Фихтенгольц, 2001, с. 105.

ЛитератураПравить

  • С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
  • Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Физматлит, 2001. — Т. 1.
  • В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
  • William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
  • У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Dirichlet-function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Dirichlet Function — from MathWorld
  • The Modified Dirichlet Function by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.