Функция Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Функция Дирихле́ — функция, принимающая единицу на рациональных значениях, и нуль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.

Символически, определяется как функция $D:\mathbb {R} \mapsto \{0,1\}$ следующим образом:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$.

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций:

$D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)$.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода.

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.

Не является интегрируемой в смысле Римана. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также «функцией Тома» (Thomae).

Литература

• С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Физматлит, 2001. — Т. 1.
• В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
• William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Dirichlet-function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Dirichlet Function — from MathWorld
• The Modified Dirichlet Function by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.