Повторный предел

К функции нескольких переменных можно применить предел по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. Повторный предел — результат выполнения такой операции по каждой переменной.

В то время как предел функции вычисляется при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, повторный предел получается в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности.

ОпределениеПравить

Рассмотрим функцию двух переменных  , определённую в некоторой проколотой окрестности точки  . Для каждого фиксированного значения переменной   рассмотрим предел:

 

Будем считать, что   существует и определена для каждого значения  . В результате получим функцию одной переменной. Теперь рассмотрим предел  :

 

Если этот предел существует, то говорят, что   есть повторный предел функции   в точке  .

 

Аналогично мы можем сначала фиксировать переменную   и брать предел по переменной  . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

 

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных  .

Равенство повторных пределовПравить

Пусть функция   определена в проколотой окрестности точки  . Если существует (конечный или нет) двойной предел

 

и если при любом   из проколотой окрестности точки   существует конечный предел по  

 

то существует повторный предел

 

и равен двойному.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0536-1.
  • Фихтенгольц, Г.М. Глава 5. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. — М., 1962. — Т. 1. — 608 с. — (Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 томах).