Повторный предел

К функции нескольких переменных $f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ можно применить предел по одной из переменных $\ {{x}_{k}}$ при фиксированных значениях остальных переменных. Повторный предел — результат выполнения такой операции по каждой переменной.

В то время как предел функции вычисляется при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, повторный предел получается в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности.

Определение

Рассмотрим функцию двух переменных $f\left(x,y\right)$, определённую в некоторой проколотой окрестности точки $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$. Для каждого фиксированного значения переменной $x$ рассмотрим предел:

$\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Будем считать, что $\varphi \left(x\right)$ существует и определена для каждого значения $x$. В результате получим функцию одной переменной. Теперь рассмотрим предел $\varphi \left(x\right)$:

$A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)$

Если этот предел существует, то говорят, что $A$ есть повторный предел функции $f\left(x,y\right)$ в точке $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$.

$A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Аналогично мы можем сначала фиксировать переменную $y$ и брать предел по переменной $x$. В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

$B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)$

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\right)$.

Равенство повторных пределов

Пусть функция $f(x,y)$ определена в проколотой окрестности точки $(a,b)$. Если существует (конечный или нет) двойной предел

$\lim \limits _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A$

и если при любом $y$ из проколотой окрестности точки $a$ существует конечный предел по $x$

$\varphi (y)=\lim _{x\to a}f(x,y)$

то существует повторный предел

$\lim _{y\to b}\varphi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

и равен двойному.

См. также

• Предел функции

Литература

• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0536-1.
• Фихтенгольц, Г.М. Глава 5. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. — М., 1962. — Т. 1. — 608 с. — (Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3 томах).