Открыть главное меню

Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

ОпределениеПравить

Пусть   и   — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция   называется  -измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из   принадлежит  , то есть

 

где   означает полный прообраз множества  .

ЗамечанияПравить

  • Если   и  топологические пространства, и алгебры   и   явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
  • Смысл данного определения в том, что если на множестве   задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество  .

Вещественнозначные измеримые функцииПравить

Пусть дана функция  . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция   измерима, если
     .
  • Функция   измерима, если
     , таких что  , имеем  ,
где   обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определенияПравить

  • Пусть   и   — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция   называется борелевской.
  • Измеримая функция  , где  множество элементарных исходов, а   — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой  .

ПримерыПравить

  • Пусть  непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть   и  индикатор множества   Тогда функция   не является измеримой.

СвойстваПравить

  • Теорема Лузина. Функция   измерима тогда и только тогда, когда для любого   существует непрерывная функция   отличающаяся от   на множестве меры не больше  .

ИсторияПравить

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
  • Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.