Открыть главное меню

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества  — это функция, определённая на множестве , которая указывает на принадлежность элемента подмножеству .

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — выбранное подмножество произвольного множества  . Функция  , определённая следующим образом:

 

называется индикатором множества  .

Альтернативными обозначениями индикатора множества   являются:   или  , а иногда даже   а также скобка Айверсона  .

(Греческая буква   происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение   может означать функцию идентичности.

Основные свойстваПравить

Отображение, которое связывает подмножество   с его индикатором   инъективно. Если   и   — два подмножества  , то

 
 
 
 

Более обобщённо, предположим   — это набор подмножеств  . Ясно, что для любого  

 

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех  , которые не принадлежат ни одному множеству   и 0 иначе. Поэтому

 

Разворачивая левую часть, получаем

 

где   — мощность  . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если  вероятностное пространство с вероятностной мерой  , а  измеримое множество, то индикатор   становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности  

 

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

БиблиографияПравить

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. такжеПравить