Открыть главное меню

Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, С.Р. Рао, Б. Рамачандран.

ОпределениеПравить

Пусть есть случайная величина   с распределением  . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

 .

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

 ,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина   принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве  , то её характеристическая функция имеет вид:

 ,

где   обозначает скалярное произведение в  .

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Если случайная величина   дискретна, то есть  , то

 .

Пример. Пусть   имеет распределение Бернулли. Тогда

 .

Если случайная величина   абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность  , то

 .

Пример. Пусть   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

 .

Свойства характеристических функцийПравить

  • Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть   есть две случайные величины, и  . Тогда  . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  • Характеристическая функция всегда ограничена:
 .
  • Характеристическая функция в нуле равна единице:
 .
  • Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна:  .
  • Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
 .
  • Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть   суть независимые случайные величины. Обозначим  . Тогда
 .
  • Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных   верно равенство  , где   означает комплексно сопряжённую с   функцию[1].
  • Теорема обращения (Леви). Пусть   - функция распределения, а   - её характеристическая функция. Если   и   - точки непрерывности  , то
 
  • Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом   для любых вещественных чисел   и любых комплексных чисел   выполняется неравенство  [2]. Здесь   означает комплексно сопряжённое к   число.

Вычисление моментовПравить

Если случайная величина   имеет начальный  момент, то характеристическая функция имеет непрерывную  производную, то есть  , и более того:

 .

Обратное преобразование ФурьеПравить

Пусть дана случайная величина  , чья характеристическая функция равна  . Тогда

  • если   дискретна и принимает целые значения, то
 ;
  • если   абсолютно непрерывна, и   — её плотность, то
 .

Достаточные условияПравить

Чтобы функция   была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы   была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией,   и   при   (теорема Титчмарша — Пойа).

Необходимые и достаточные условияПравить

Пусть   - непрерывная функция   и  . Для того, чтобы функция   была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом   для любых вещественных чисел   и любых комплексных чисел   выполняется неравенство   (Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь   означает комплексно сопряжённое к   число[2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975
  2. 1 2 Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65

ЛитератураПравить

  • Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.
  • Лукач Е. Характеристические функции. - М., Наука, 1979. - 424 с.