Теорема Леви о непрерывности

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Леви.

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

ФормулировкаПравить

Пусть   последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины  , где  , символом  . Тогда если   по распределению при  , и   — характеристическая функция  , то

 .

Обратно, если  , где   — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то   является характеристической функцией некоторой случайной величины  , и

  по распределению при  .

ЗамечаниеПравить

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если  , где   — характеристическая функция  , и   — характеристическая функция  , то   по распределению при  . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. такжеПравить