Открыть главное меню

Центральная предельная теорема

«Сглаживание» распределения суммированием. Показана функция плотности вероятности одной случайной величины, а также распределения суммы двух, трёх и четырёх случайных величин с такой же функцией распределения.
Какова бы ни была форма распределения генеральной совокупности, выборочное распределение стремится к нормальному, а его дисперсия задается центральной предельной теоремой.[1]


Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Содержание

Классическая ЦПТПравить

Пусть   есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание   и дисперсию  . Пусть также

 .

Тогда

  по распределению при  ,

где   — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых   величин как

 ,

мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

  по распределению при  .

Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри — Эссеена.

ЗамечанияПравить

  • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма   независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к  . Эквивалентно,   имеет распределение близкое к  .
  • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив  , получаем  , где   — функция распределения стандартного нормального распределения.
  • Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
  • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.

Локальная ЦПТПравить

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин   абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение   также абсолютно непрерывно, и более того,

  при  ,

где   — плотность случайной величины  , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

ОбобщенияПравить

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

ЦПТ ЛиндебергаПравить

Пусть независимые случайные величины   определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии:  .

Пусть  .

Тогда  .

И пусть выполняется условие Линдеберга:

 

где   функция - индикатор.

Тогда

  по распределению при  .

ЦПТ ЛяпуноваПравить

Пусть выполнены базовые предположения ЦПТ Линдеберга. Пусть случайные величины   имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

 .

Если предел

  (условие Ляпунова),

то

  по распределению при  .

ЦПТ для мартингаловПравить

Пусть процесс   является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

 

и приращения равномерно ограничены, то есть

  п.н.

Введём случайные процессы   и   следующим образом:

 

и

 .

Тогда

  по распределению при  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Rouaud, Mathieu. Probability, Statistics and Estimation. — 2013. — P. 10.

СсылкиПравить