Обсуждение:Центральная предельная теорема

ЦПТ для мартингалов

ЦПТ для мартингалов очевидно неверна в таком виде, как написана. Как минимум, надо требовать конечность дисперсий, возможно, и еще что-то.

Добавил условия из английской версии. 18.83.1.20 13:57, 16 октября 2009 (UTC)

Независимые vs. слабозависимые

Обобщения ЦПТ Линдеберга и Ляпунова объясняют в каком смысле случайные величины "слабозависимы". Действительно, такого строгого термина не существует, но в контексте статьи правильно, чтобы описательная часть не ограничивалась случаем полной независимости. 18.83.1.20 13:57, 16 октября 2009 (UTC)

Центральная предельная теорема и Википедия

С определенными оговорками применительно к Википедии можно сформулировать вывод, созвучный центральной предельной теореме:

Если материал статьи Википедии является суммой многих независимых текстов участников,каждый из которых вносит малый вклад относительно общего результата, то при увеличении числа участников объективность и полнота охвата результирующего материала стремятся к идеальным. Flingern 08:29, 21 июля 2013 (UTC)

Теорема Ляпунова

Теорема Ляпунова в этой статье, тут и в БСЭ (см. dic.academic.ru/dic.nsf/bse/105292/Ляпунова) сформулированы по-разному. Какой вариант правильный? В любом случае нужна ссылка на АИ. — Алексей Копылов 08:59, 18 февраля 2018 (UTC)

Строго говоря, понятие о центральной предельной теореме сформулировано неверно

Статья начинается c неверного утверждения: "Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному". Хотелось бы заметить, что любое безгранично делимое распределение может быть представлено как сумма большого количества независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение (и, значит, одинаковые масштабы). Разумеется, никакой близости к нормальному распределению нет. Так что, на мой взгляд, статья дает неверное представление о центральной предельной теореме. Для последней важна именно нормировка суммы, а не просто малость слагаемых. 89.103.131.7 20:06, 22 февраля 2018 (UTC) Lev Klebanov

И как же представить, например, равномерное распределение в виде суммы большого количества независимых случайных величин? — Алексей Копылов 20:17, 22 февраля 2018 (UTC)

А равномерное распределение не является безгранично делимым. Зато возьмите распределение Пуассона и сразу все увидите. Его Вы как раз и запишете как сумму случайных величин с пуассоновским распределением. 89.103.131.7 21:28, 22 февраля 2018 (UTC)Lev Klebanov

Да, вы правы. Но при большом lamda распределение Пуассона стремится к нормальному, так что противоречия нет. Преамбула должна дать представление о предмете статьи, формальные формулировки есть ниже. Такое неформальное изложение есть в источниках [1]. Если вы знаете, как переписать преамбулу, чтобы она давала более точное представление, но в то же время не загружала читателя излишними деталями, то предлагаейте здесь или правьте смело статью. — Алексей Копылов 22:21, 22 февраля 2018 (UTC)

Ну а кто же и где сказал, что лямбда должно быть большим? Возьмите, скажем, лямбда =1, произвольное число n независимых слагаемых, каждое с лямбда =1/n. Каждое из них мало. Никакой близости к нормальному закону нет. Формальные теоремы для сходимости к безгранично делимым распределениям также существуют, просто их не изучают (почему-то) в технических ВУЗах. Их можно найти в книге В.В. Петрова "Суммы независимых случайных величин", или И.А. Ибрагимова и Ю.В. Линника "Независимые и стационарно связанные величины". Центральная предельная связана со специальной нормировкой (именно, линейной нормировкой), о чем в статье нет ни слова. (В английской статье об этом кратко написано). Так что, статья просто неправильно ориентирует читателя, так как создает превратное впечатление что суммы большого числа слабо зависимых величин распределены примерно нормально. Пуассоновское распределение при фиксированном лямбда не близко к нормальному! Экспоненциальное распределение с фиксированным параметром не близко к нормальному! Таких примеров много. Я предлагаю примерно такую формулировку: ""Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что нормированная линейным способом сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада) и не слишком тяжелые хвосты (т.е. вероятности очень больших значений величин малы), имеет распределение, близкое к нормальному". Пока это выглядит "коряво", так что не хочу включать в статью в таком виде. Помогите, кто может.89.103.131.7 07:37, 23 февраля 2018 (UTC) Lev Klebanov

"Сумма достаточно большого количества" - значит, что при заданном распределение, если взять достаточно много случайных величин с этим распределением, то их сумма была близка к нормальной. Если задано пуассоновское распределение с фиксированным лямбдой, то при достаточно большом n их сумма будет близка к нормальному распределению. Конечно, если мы при увеличении n будем одновременно менять распределения, которые суммируем, мы можем получить ненормальное расспределение, но утверждается не это. Это все равно, что сказать "сумма достаточно большого числа положительных одинаковых чисел больше 1000". Это несомненно верное утверждение, хотя вы можете взять сколь угодно много чисел с суммой 1. Про нормировку надо написать, но скорее всего не в преамбуле, уж в любом случае не в первом параграфе. Что такое линейная нормировка читатель знать не обязан, поэтому это добавление без предварительного объяснения ничего не прибавляет. — Алексей Копылов 08:20, 23 февраля 2018 (UTC)

Совершенно не согласен с Вами. Первое возражение состоит в том, что мы не берем сумму случайных величин с фиксированным распределением. Распределения слагаемых зависят от их числа! (это число входит в нормировку! Если не говорить о нормировке, то утверждение вообще не имеет смысла.). Кстати, Ваш пример с тем, что 1 можно записать как сумму произвольно большого числа величин является правильным. Вырожденное распределение (соответствующее неслучайной величине) как раз является предельным случаем нормального. Подумайте над этим. А если распределение слагаемых зависит от их числа, то пример с Пуассоновским распределением "работает", так как число слагаемых (зависящих от него) может быть любым. Важно как именно слагаемые зависят от n. Если линейно, то может быть центральная предельная теорема (но надо еще исключить устойчивые законы в качестве предельных), а если этого не предполагать, то и теоремы-то нет. Должна ли статья быть строга, или могут быть неточности? Думаю, что статья должна правильно ориентировать читателя. Утверждение, что если нечто связано с суммой большого числа независимых слагаемых, то оно имеет нормальное распределение, грубо ложно и неверно ориентирует читателя. Его надо изменить. Строгую формулировку дать легко, но она не будет понята многими читателями. Именно в этом проблема. Как объяснить читателю о чем ц.п.т., не предполагая, что он знает про типы нормировок. 89.103.131.7 09:23, 23 февраля 2018 (UTC) Lev Klebanov