Теорема Бохнера — Хинчина

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностейПравить

ФормулировкаПравить

Пусть   - непрерывная функция   и  . Для того, чтобы функция   была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом   для любых вещественных чисел   и любых комплексных чисел   выполняется неравенство  [1].

Здесь   означает комплексно сопряжённое к   число.

ДоказательствоПравить

Доказательство есть в книге[2]

Теория случайных процессовПравить

ФормулировкаПравить

Пусть   - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией  [3].

  • Если   - скалярный процесс с дискретным временем, то:

 

где   - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по   однозначно, если потребовать, чтобы   и   была непрерывной справа,   - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации,   - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

  • Если   - векторный процесс с дискретным временем, то для   имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где   - матрица, приращения которой   эрмитовы и неотрицательно определены,   - вещественная симметричная матрица, приращения которой   неотрицательно определены,   - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица   определяется однозначно по  , если потребовать, чтобы   (нулевая матрица) и   была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).
  • Если   - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

 

где функции   определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия  .

  • Если   - векторный процесс с непрерывным временем, то для   имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы   определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия   (нулевая матрица).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
  2. Чеботарев А. М. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику для физиков. - М., МФТИ, 2008. - c. 53
  3. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 245-246