Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

ОпределениеПравить

Семейство   подмножеств множества   называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам[1]:

  1.   содержит множество  .
  2. Если  , то и его дополнение  .
  3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из   принадлежит  

ПоясненияПравить

  • Поскольку
     
в пункте 3, достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало  .
  • Для любой системы множеств   существует наименьшая сигма-алгебра  , являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств  ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на  , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной  , определяется следующим образом:
 ,
где   — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве  , относительно которой случайная величина   всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве   вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции   её можно ввести и наделить таким образом пространство   структурой измеримого пространства, так что функция   будет измеримой.

Измеримое пространствоПравить

Основная статья: Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара  , где   — множество, а   — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

ПримерыПравить

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества   существует тривиа́льная σ-алгебра  , где   — пустое множество.
  • Для любого множества   существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

ПримечанияПравить

  1. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.

ЛитератураПравить

  • Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.