Открыть главное меню

Счётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция со множеством натуральных чисел: , другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел. В иерархии алефов мощность счётного множества обозначается («алеф-нуль»).

Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством в следующем смысле: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество; всякое подмножество счётного множества конечно или счётно; если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, равномощное с исходным[1].

Объединения конечного или счётного числа счётных множеств, а также прямые произведения конечного числа счётных множеств — счётны[2][1]. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно; однако множество всех подмножеств счётного множества континуально, и счётным не является.

Счётными являются множества натуральных чисел , целых чисел , рациональных чисел , алгебраических чисел . Счётными являются объекты, получающиеся в результате рекурсивных процедур, в частности, таковы вычислимые числа, арифметические числа (как следствие, счётно и кольцо периодов, поскольку каждый период является вычислимым). Счётны множество всех конечных слов над счётным алфавитом и множество всех слов над конечным алфавитом. Любые объекты, которые можно определить со взаимно-однозначным сопоставлением со счётным множеством — счётны, например: любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на вещественной оси; множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы две точки с рациональными координатами; любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны.

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным, таковы, в частности, множества вещественных чисел , комплексных чисел , чисел Кэли . Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Брудно, 1971, с. 14.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62—63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

ЛитератураПравить

  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.