Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернион
Дата основания, создания, возникновения 1843[1]
Предыдущее по порядку комплексное число
Следующее по порядку Алгебра Кэли
Первооткрыватель или изобретатель Уильям Роуэн Гамильтон[1]
Дата открытия (изобретения) 1843
Определяющая формула
Обозначение в формуле
Изображение памятной доски
Схематичная иллюстрация
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики[2].

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[3].

Определения

править

Стандартное

править

Кватернионы можно определить как сумму

 

где   — вещественные числа

 
Графическое представление таблицы умножения базисных кватернионов (цвет шара определяет первый множитель, цвет выходящей стрелки - второй множитель, стрелка указывает на результат умножения)
  — мнимые единицы со следующим свойством:  , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным):  , a  .
Таблица умножения базисных кватернионов  
X 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Как вектор и скаляр

править

Кватернион представляет собой пару   где   — вектор трёхмерного пространства, а   — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

 

Произведение определяется следующим образом:

 

где   обозначает скалярное произведение, а   — векторное произведение.

В частности:

 
 
 

Заметим, что:

Через комплексные числа

править

Произвольный кватернион   можно представить как пару комплексных чисел в виде

 

или эквивалентно

 

где   — комплексные числа, поскольку   выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а  .

Через матричные представления

править

Вещественными матрицами

править

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

 

При такой записи:

  • сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
     ;
  • четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
     

Комплексными матрицами

править

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой[4]:

 

здесь   и   обозначают комплексно-сопряжённые числа к   и  .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

  • комплексному числу соответствует диагональная матрица;
  • сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
     ;
  • квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
     

Связанные объекты и операции

править

Для кватерниона

 

кватернион   называется скалярной частью   а кватернион   — векторной частью. Если   то кватернион называется чисто скалярным, а при   — чисто векторным.

Сопряжение

править

Для кватерниона   сопряжённым называется[5]:

 

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке[6]:

 

Для кватернионов справедливо равенство

 

Модуль

править

Так же, как и для комплексных чисел[7],

 

называется модулем  . Если   то   называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль:  .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное   с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что   иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)

править

Кватернион, обратный по умножению к  , вычисляется так[5]:  .

Алгебраические свойства

править

Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По теореме Фробениуса тела  ,  ,   являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение   имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

 

Кватернионы и повороты пространства

править
 
Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над  , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно   может быть записан в виде  , где   и   — пара единичных кватернионов, при этом пара   определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары —   и  . Из этого следует, что группа Ли   поворотов   есть факторгруппа  , где   обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно   может быть записан в виде  , где   — некоторый единичный кватернион. Соответственно,  , в частности,   диффеоморфно  .

«Целые» кватернионы

править

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля:  .

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы   такие, что все   — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

  • чётным
  • нечётным
  • простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме  , нацело (иными словами,  ).

Целые единичные кватернионы

править

Существует 24 целых единичных кватерниона:

 ;  ;  ;  ;  

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

править

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[8] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона   в произведение простых целых положительных чисел   существует разложение кватерниона   в произведение простых кватернионов   такое, что  . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

 ,

где  ,  ,  , …   — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион   имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

 

 

Общее число разложений такого кватерниона равно  

Функции кватернионного переменного

править

Вспомогательные функции

править

Знак кватерниона вычисляется так:

 

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

 

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона   в виде

 

Здесь   — вещественная часть кватерниона,  . При этом  , поэтому проходящая через   и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид   для фиксированного единичного вектора  . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

править

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если   для комплексных чисел, то  , где кватернион   рассматривается в «комплексном» представлении  .

Степень и логарифм
 
 

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до  .

Тригонометрические функции
 
 
 

Линейное отображение

править

Отображение   алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

 
 
 

где   — поле действительных чисел. Если   является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых   отображение

 

является линейным отображением. Если   — тождественное отображение ( ), то для любых   мы можем отождествить тензорное произведение   с отображением

 

Для любого линейного отображения   существует тензор  ,  , такой, что

 

В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу  . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение   и тензор  .

Регулярные функции

править

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию   как имеющую предел

 

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки   вид

 

где   — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

 
 

и рассмотрении таких кватернионных функций  , для которых[9]

 

что полностью аналогично использованию операторов   и   в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[10].

Дифференцирование отображений

править

Непрерывное отображение   называется дифференцируемым на множестве  , если в каждой точке   изменение отображения   может быть представлено в виде

 

где

 

линейное отображение алгебры кватернионов   и   такое непрерывное отображение, что

 

Линейное отображение   называется производной отображения  .

Производная может быть представлена в виде[11]

 

Соответственно дифференциал отображения   имеет вид

 

Здесь предполагается суммирование по индексу  . Число слагаемых зависит от выбора функции  . Выражения   и   называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона   верно равенство

 

Виды умножений

править

Умножение Грассмана

править

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ( ).

Евклидово умножение

править

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему:  . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

править

Аналогично одноимённой операции для векторов:

 .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например,  .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

 .

Внешнее произведение

править
 .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

править

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

 .

Из истории

править
 
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[12]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 18191820 годам[13]. Также кватернионы рассматривал Эйлер. Б. О. Родриг (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов[14][15].

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной[15].

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (который также занимался указанной задачей) в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с дуплетами (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (триплеты) не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать четвёрки — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал кватернионами[16]. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно[17].

Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов[6], Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Штуди и Котельников; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда[18]. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[19] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд)[20]. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку формулировка СТО в терминах 4-векторов Минковским была построена теория СТО с использованием кватернионов А. У. Конвеем[англ.] и Зильберштейном[пол.][21]. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов[22].

Современное применение

править

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[23] и теории относительности[24]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[25], а также в вычислительной механике[26][27], в инерциальной навигации и теории управления[28][29]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[30].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[31]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[26][27].

Как алгебра над  , кватернионы образуют вещественное векторное пространство  , снабжённое тензором третьего ранга   типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа,   отображает каждую 1-форму   на   и пару векторов   из   в вещественное число  . Для любой фиксированной 1-формы     превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на  . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на  . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы  , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[32]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[33] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[34].

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Hazewinkel M., Gubareni N. M., (not translated to en) Algebras, rings and modules (англ.)Springer Science+Business Media, 2004. — P. 12. — ISBN 978-1-4020-2690-4
  2. Кватернионы в программировании игр Архивная копия от 25 июля 2009 на Wayback Machine (GameDev.ru)
  3. Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
  4. Stillwell, 2008, p. 7.
  5. 1 2 Stillwell, 2008, p. 9.
  6. 1 2 Stillwell, 2008, p. 10.
  7. Stillwell, 2008, p. 8.
  8. John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
  9. R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
  10. A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
  11. Выражение   не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения   при заданном   является кватернионом.
  12. В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
  13. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
  14. Rodrigues Olinde. Геометрические законы, управляющие перемещениями твёрдой системы в пространстве, и изменение координат, возникающее в результате этих перемещений, рассматриваемые независимо от причин, которые могут их вызвать = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1840. — Т. 5. — С. 380—440.
  15. 1 2 Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 5.
  16. Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 11—12.
  17. Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 15.
  18. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 6—8.
  19. А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева. Архивная копия от 3 мая 2017 на Wayback Machine
  20. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 8.
  21. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 9.
  22. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 10.
  23. Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
  24. Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
  25. Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Издательство БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
  26. 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
  27. 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Издательство БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
  28. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
  29. Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени. Дата обращения: 9 декабря 2013. Архивировано 13 декабря 2013 года.
  30. Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике». Дата обращения: 13 марта 2014. Архивировано 26 сентября 2016 года.
  31. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с. Архивировано 6 декабря 2013 года.
  32. Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  33. Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  34. Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература

править
на русском языке
на других языках