Открыть главное меню

Алгебра над полем

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

ОпределениеПравить

Пусть   — векторное пространство над полем  , снабженное операцией  , называемой умножением. Тогда   является алгеброй над  , если для любых   выполняются следующие свойства:

  •  
  •  
  •  .

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем   — это кольцо с единицей  , снабженное гомоморфизмом колец с единицей  , таким, что   принадлежит центру кольца   (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что   является векторным пространством над   со следующей операцией умножения на скаляр  :  .

Связанные определенияПравить

  • Гомоморфизм  -алгебр — это  -линейное отображение, такое что   для любых   из области определения.
  • Подалгебра алгебры над полем   — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй   линейной алгебры   над полем   называется её подмножество если оно является подкольцом кольца   и подпространством линейного пространства  [1].
    • Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
    • Алгебра называется алгебраической если все её элементы алгебраические.[2]
  • Левый идеал  -алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
  • Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов   и   уравнения   и   разрешимы[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
  • Центр алгебры   — это множество элементов  , таких что   для любого элемента  .

ПримерыПравить

Ассоциативные алгебрыПравить

Неассоциативные алгебрыПравить

Структурные коэффициентыПравить

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем   достаточно указать её размерность   и   структурных коэффициентов  , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

 

где   — некоторый базис  . Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если   — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра   является свободным модулем.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190
  2. Джекобсон Н. Строение колец. — М.: ИЛ, 1961. — 392 с.
  3. Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением

ЛитератураПравить

  • Скорняков Л. А., Шестаков И. П.  Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.