Ассоциативная операция

(перенаправлено с «Ассоциативность (математика)»)
Эта статья — об ассоциативности в математике. Об ассоциативности операций в языках программирования см. Очерёдность операций.

Ассоциати́вная опера́ция — бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

для любых элементов .

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при в общем случае не определено. Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году.

Примеры:

Примером неассоциативной операции является возведение в степень: результат выражения зависит от расстановки скобок: в общем случае . В общем случае не всякая коммутативная операция ассоциативна (существуют коммутативные магмы[en] с неассоциативной операцией).

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество (непустое) с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность и альтернативность.