Открыть главное меню

Возведение в степень

Графики четырёх функций вида , указано рядом с графиком функции

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием и натуральным показателем обозначается как

где  — количество множителей (умножаемых чисел). Применяются также и альтернативные обозначения[⇨].

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней. Взятие корня — операция, обратная возведению в степень.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений. Вычислительная задача по возведению в степень с заданным основанием (потенцирование, антилогарифм[⇨]) возникает в ряде практических приложений для нахождения результата по известному значению логарифма.

Гипероператор возведения в степень — тетрация. В общей алгебре используются обобщения понятия степени, наиболее общим образом степень может быть определена для всякой операции, обладающей свойством степенной ассоциативности (таким образом, например, из декартова произведения может быть определена декартова степень).

СвойстваПравить

Основные свойства операции возведения в степень:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  .

Запись   не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности  , результат будет зависеть от последовательности действий, например,  , а  . Принято считать запись   равнозначной  , а вместо   можно писать просто  , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря,  , например,  , но   (при этом отдельно изучается уравнение  ).

Целая степеньПравить

Операция обобщается на произвольные целые степени  :

 

Результат неопределён при   и  .

Рациональная степеньПравить

Обобщение на рациональные степени:  .

Результат неопределён при   и  .

Для отрицательных   в случае нечётного   и чётного   в результате вычисления степени получаются комплексные числа. Таким образом, понятие рациональной степени объединяет целочисленную степень и целочисленный корень.

Вещественная степеньПравить

Если   — вещественные числа, причём   — иррациональное число, возможно определить   следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для   рациональный интервал   с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов   состоит из одной точки, которая и принимается за  .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (как определяется для комплексной степени[⇨]).

Потенцирование и антилогарифмПравить

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения  . Из определения логарифма вытекает, что  , таким образом, возведение   в степень   может быть названо другими словами «потенцированием   по основанию  ».

Антилогарифм — вычислительная операция нахождения числа по известному значению логарифма, как самостоятельное понятие используется в математических таблицах[en], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Результат антилогарифма по основанию   для числа   соответствует возведению в степень  .

Комплексная степеньПравить

Базовый случай для определения комплексной степени — экспонента  , где   — число Эйлера,   — произвольное комплексное число:

 

Общий случай  , где   — комплексные числа, определяется через представление   в экспоненциальной форме и с использованием тождества  , где   — комплексный логарифм:

 

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени нольПравить

Основная статья: Ноль в нулевой степени

Выражение   (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

 

можно записать короче:

 

В любом случае соглашение   чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Степень как функцияПравить

Поскольку в выражении   используются два символа (  и  ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

  • функцию переменной   (при этом   — параметр). Такая функция называется степенной (частный случай полиномиальной функции);
  • функцию переменной   (при этом   — параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента);
  • функцию двух переменных.

Полезные формулыПравить

 
 
 

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции  , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речиПравить

Запись   обычно читается как «a в  -й степени» или «a в степени n». Например,   читается как «десять в четвёртой степени»,   читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например,   читается как «десять в квадрате»,   читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо  ,   древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что   — «a умноженное само на себя три раза»[2], имея в виду, что берётся три множителя  . Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше:   (три множителя, но две операции умножения). Часто, когда говорят «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть  [3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»[4].

ОбозначениеПравить

ИсторияПравить

В Европе сначала степень записывали как произведение — например,   изображалось как   Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали   в виде   и   соответственно[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида  .

Значок степениПравить

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем)[источник не указан 28 дней].

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике:  .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют функции.

ПримечанияПравить

  1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165—167. — 456 с.
  2. Морган Джонс. Ламповые усилители. — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772.
  3. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
  4. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7.
  5. Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
Комментарии
  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).
  2. Для целой степени.
  3. Для неотрицательной целой степени.
  4. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
  5. Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности).
  6. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x, y).

ЛитератураПравить

СсылкиПравить