Открыть главное меню

Обратная функция

Функция и обратная ей функция . Если , то

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

ОпределениеПравить

Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:

  •   для всех  
  •   для всех  

СуществованиеПравить

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение   относительно  . Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к   не существует. Таким образом, функция   обратима на интервале   тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции   выразить   из уравнения   возможно в том и только том случае, когда функция   строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например,   является обратной функцией к   на  , хотя на промежутке   обратная функция другая:  .

Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция   где  функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[1]:  

ПримерыПравить

  • Если  , где   то  
  • Если  , где   фиксированные постоянные и  , то  
  • Если  , то  

СвойстваПравить

 
Графики функции и обратной ей
  • Областью определения   является множество  , а областью значений — множество  .
  • По построению имеем:
 

или

 ,
 ,

или короче

 ,
 ,

где   означает композицию функций, а   — тождественные отображения на   и   соответственно.

  • Такое отображение  , что   («обратное справа»), называется сечением отображения  .
  • Функция   является обратной к  :
 .
  • Пусть   — биекция. Пусть   её обратная функция. Тогда графики функций   и   симметричны относительно прямой  .
  • Также, если у функции  есть обратная ей  , то графики этих функций будут симметричны относительно линии  .

Разложение в степенной рядПравить

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

 

где коэффициенты   задаются рекурсивной формулой:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.