Открыть главное меню

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции

, ,

заданной уравнением

,

и значение фиксировано.

Одномерный случайПравить

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция  

  • непрерывна в некоторой окрестности точки  
  •   и
  • при фиксированном   функция   строго монотонна по y в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток  , являющийся окрестностью точки  , и такая непрерывная функция  , что для любой точки  

 

Обычно дополнительно предполагается, что функция   является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки  . В том случае строгая монотонность следует из условия  , где   обозначает частную производную   по  . Более того, в этом случае функция   также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

 

Многомерный случайПравить

Пусть   и   — пространства с координатами   и  , соответственно. Рассмотрим отображение     которое отображает некоторую окрестность   точки   в пространство  .

Предположим, что отображение   удовлетворяет следующим условиямː

  •     то есть   является   раз непрерывно дифференцируемым в  
  •  
  • якобиан отображения   не равен нулю в точке   то есть определитель матрицы   не равен нулю.

Тогда существуют окрестности   и   точек   и   в пространствах   и   соответственно, причём  , и отображение     такие, что

 

для всех   и  . Отображение   определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː[1]

Предположим, что отображение   удовлетворяет следующим условиямː

  •   является непрерывным в  
  •  
  • существуют окрестности   и   точек   и   в пространствах   и   соответственно, причём  , такие, что для каждого фиксированного   отображение   является взаимно однозначным в  .

Тогда существует такое непрерывное отображение  , что

 

для всех   и  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
  • Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
  • Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
  • Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972

ПримечанияПравить

  1. Jittorntrum, K. An implicit function theorem. J. Optim. Theory Appl. 25 (1978), no. 4, 575—577.