Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения в точке обычно обозначается , иногда также следующим образом:

,или

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 3900 дней] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].

Введён Якоби (1833, 1841).

ОпределениеПравить

Якобиан векторной функции   имеющей в некоторой точке   все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций  ), определяется как

 

Геометрическая интерпретацияПравить

Если функции   определяют преобразование координат  , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] «элементарных параллелепипедов», натянутых на   и на   при равенстве произведений  .

ПрименениеПравить

  • Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
  • Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
  • Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат   преобразуется как
     
     
    (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

ПримерыПравить

Пример 1. Переход элементарной площади   от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

 
 

Матрица Якоби имеет следующий вид

 

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

 

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

 

Пример 2. Переход элементарного объёма   от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

 
 
 

Матрица Якоби имеет следующий вид

 

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

 

СвойстваПравить

  • Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке   равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки   к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
  • Якобиан в точке   положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
  • Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области  , то отображение   является локальным диффеоморфизмом.

ПримечанияПравить

  1. wolfram.com Jacobian
  2. Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

См. такжеПравить

Применение в физике