Теорема об обратной функции

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема обобщается на вектор-функции. Есть также варианты теоремы об обратной функции для голоморфных функций, для гладких отображений между многообразиями, для гладких функций между Банаховыми пространствами.

Формулировки

Вещественнозначная функция

Для функции одной переменной теорема гласит, что если $f$ является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке $a$, то $f$ обратима в окрестности $a$. Более того, обратная функция является непрерывно дифференцируемой, и

${\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}.$

Функции нескольких переменных

Если матрица Якоби от непрерывно дифференцируемой функции $F$, действующей из открытого подмножества пространства $\mathbb {R} ^{n}$ в пространство $\mathbb {R} ^{n}$, обратима в точке $p$, то и сама функция $F$ является обратимой в окрестности $p$.

Замечания

• Вторая часть теоремы следует из правила дифференцирования композиции функций.
• Существование обратной функции $F$ эквивалентно высказыванию, что система $n$ уравнений $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ может иметь решение $x_{1},\dots ,x_{n}$ при данных $y_{1},\dots ,y_{n}$, предполагая, что $x$ и $y$ лежат в малых окрестностях $p$ и $F(p)$, соответственно.

Пример

Рассмотрим вектор-функцию $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

$\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y}\\\end{bmatrix}}.$

Матрица Якоби $F$ имеет вид

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix}}.$

Её определитель:

$\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y=e^{2x}.$

Заметим, что $e^{2x}\neq 0$ в любой точке. Согласно теореме, для каждой точки $p\in \mathbb {R} ^{2}$ существует окрестность, на которой $F$ является обратимой.

• Заметим, однако, что на всей области $F$ необратима. Действительно,

  $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

для любых $(x,y)$. В частности, $F$ не является инъективной

Вариации и обобщения

Бесконечномерный случай

В бесконечномерном случае необходимо дополнительно потребовать, чтобы производные Фреше в точке $p$ имели ограниченный обратный оператор.

Многообразия

Теорема об обратной функции обобщается на гладкие отображения между гладкими многообразиями. Пусть $F\colon M\to N$ — гладкое отображение между гладкими многообразиями. Предположим, что дифференциал

$d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N$

в точке $p$ является линейным изоморфизмом. (В частности, $\dim M=\dim N$.) Тогда существует открытая окрестность $U\ni p$ такaя, что

$F|_{U}\colon U\to F(U)$

является диффеоморфизмом.

Банаховы пространства

Пусть $X$ и $Y$ — Банаховы пространства, и $U$ — открытая окрестность $0\in X$. Предположим, отображение $F\colon U\to Y$ непрерывно дифференцируемо, и его дифференциал $d_{0}F\colon X\to Y$ является ограниченный линейным изоморфизмом $X\to Y$. Тогда существует открытая окрестность $V\ni F(0)$ и непрерывно дифференцируемое отображение $G\colon V\to X$ такое, что $F(G(y))=y$ для всех $y$ в $V$.

Банаховы многообразия

Эти два направления обобщения могут быть объединены в теореме об обратной функции для Банаховых многообразий.

См. также

• Теорема о неявной функции

Ссылки

• Зорич В. А. Математический анализ, любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972
• Serge Lang. Differential and Riemannian Manifolds. — Springer, 1995. — ISBN 0-387-94338-2.
• Serge Lang. Fundamentals of Differential Geometry. — New York: Springer, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98593-0.
• Nijenhuis, Albert. Strong derivatives and inverse mappings (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1974. — Vol. 81, no. 9. — P. 969—980. — doi:10.2307/2319298.
• Renardy, Michael and Rogers, Robert C. An introduction to partial differential equations (итал.). — Second. — New York: Springer-Verlag, 2004. — С. 337—338. — (Texts in Applied Mathematics 13). — ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis (неопр.). — Third. — New York: McGraw-Hill Education, 1976. — С. 221—223. — (International Series in Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0070542358.