Открыть главное меню

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства.

ПримерыПравить

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через   обозначено одно из полей   или  ):

  • Евклидовы пространства   с евклидовой нормой, определяемой для   как  , являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций  , определённых на закрытом интервале   будет банаховым пространством, если мы определим его норму как  . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как  . Этот пример можно обобщить к пространству   всех непрерывных функций  , где   — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций  , где   — любое топологическое пространство, или даже к пространству   всех ограниченных функций  , где   — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
  • Если   — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей   элементов из  , таких что ряд   сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени   из суммы этого ряда, и обозначается  .
  • Банахово пространство   состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из  ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
  • Снова, если   — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень   их модуля также суммируема). Корень степени   этого интеграла от  -й степени модуля функции определим как полунорму  . Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом:   и   эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности   равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как  . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, Lp-пространства.
  • Если   и   — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму  , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если   — замкнутое подпространство банахова пространства  , то факторпространство   снова является банаховым.
  • Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
  • Если   и   — банаховы пространства над одним полем  , тогда множество непрерывных  -линейных отображений   обозначается  . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными.   — векторное пространство, и, если норма задана как  , является также и банаховым.
    • Пространство   представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространствПравить

ЛитератураПравить