Открыть главное меню

Банахова алгебра

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

.

Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом , что для всех справедливо ). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.

ПримерыПравить

  • Поля комплексных чисел или действительных чисел  и   относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
  • Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
  • Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
  •   — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример —   — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где  локально компактное пространство.
  • Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
  • Если   — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара  , то банахово пространство   интегрируемых относительно меры   комплекснозначных функций на   является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле
 .
  •   — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
  • C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой:  

СвойстваПравить

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов   алгебры   является открытым множеством. При этом отображение  , сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом,   — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором:    для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что   также не является коммутатором.

Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна  .

Спектральная теорияПравить

В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.

Элемент   алгебры   называется обратимым, если найдется такой элемент  , что  . Спектром   элемента   называется множество таких   что элемент   необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта   спектр элемента   из алгебры  , определяемого по формуле  , совпадает с  , поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.

Спектральным радиусом   элемента   называется величина

 .

Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:

 

Резольвентным множеством элемента   называется множество  . Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента   называется функция комплексной переменной  , определяемая формулой  . Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.

Если   — голоморфная в окрестности   спектра   функция, можно определить   по формуле

 ,

где   — спрямляемый жорданов контур, лежащий в  , содержащий спектр элемента   и ориентированный положительно, а   — резольвента элемента  . В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.

Идеалы и характерыПравить

Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, bA справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и  . Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.

Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если   — максимальный идеал, то факторалгебра   является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна  . Поэтому каждому максимальному идеалу   можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ =  . Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма   в  . Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.

Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec Aкомпактное хаусдорфово топологическое пространство.

Преобразованием Гельфанда элемента   алгебры A называется непрерывная функция  , определяемая по формуле   для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.

Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.

ЛитератураПравить

  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
  • Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
  • Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.