Гомеоморфизм

Гомеоморфи́зм (греч. ὅμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку при непрерывности биекции образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Классический пример гомеоморфизма: кружка и бублик (тор) топологически эквивалентны

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

ОпределениеПравить

Пусть   и   — два топологических пространства. Функция   называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также сама   и обратная функция   непрерывны.

Связанные определенияПравить

  • Пространства   и   в таком случае называются гомеомо́рфными, или топологи́чески эквивале́нтными.
    • Обычно это отношение обозначается  .
  • Свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примеры топологических свойств: все виды отделимости в топологических пространствах, связность и несвязность, линейная связность, компактность, односвязность, метризуемость, а также локальные аналоги перечисленных свойств (локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность, локальная метризуемость), свойство быть топологическим многообразием, конечномерность, бесконечномерность и размерность топологических многообразий и др.
  • Локальным гомеоморфизмом пространств называется непрерывное сюръективное отображение  , если каждая точка   обладает такой окрестностью  , что ограничение   на   является гомеоморфизмом   между   и её образом  .
    • Пример. Отображение   является локальным гомеоморфизмом между числовой прямой   и окружностью  . Однако эти пространства не гомеоморфны, например, потому, что окружность компактна, а прямая - нет.

Теорема о гомеоморфизмеПравить

Пусть   — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть   — биекция. Тогда   является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда   строго монотонна и непрерывна на  

ПримерПравить

  • Произвольный открытый интервал   гомеоморфен всей числовой прямой  . Гомеоморфизм   задаётся, например, формулой
 
  • Интервал   гомеоморфен отрезку   в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить