Открыть главное меню

Аксиомы отделимости

Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.

Известно множество аксиом отделимости. Кроме как по имени, они обозначаются с помощью символов T0, T1, T2, T3, T, T4 и т. д. Буква T в этих обозначениях происходит от нем. Trennungsaxiom, что означает аксиома отделимости.

T0 — аксиома КолмогороваПравить

Для любых двух различных точек   и   по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T1 — аксиома ТихоноваПравить

Для любых двух различных точек   и   должна существовать окрестность точки  , не содержащая точку  , и окрестность точки  , не содержащая точку  . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T2 — аксиома ХаусдорфаПравить

Для любых двух различных точек   и   должны найтись непересекающиеся окрестности   и  .

T3Править

Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности.[1][2] Эквивалентное условие: для любой точки   и её окрестности   существует окрестность  , такая, что  .

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3, называются регулярными пространствами.[1]

Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1.[3][4] Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1.[2][4]

TПравить

Для любого замкнутого множества   и не содержащейся в нём точки   существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция  , заданная на этом пространстве, принимающая значения от   до   на всем пространстве, причем   и   для всех  , принадлежащих  . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.

Иногда в определение аксиомы отделимости T включают требования аксиомы отделимости T1.[5] Также иногда в определении вполне регулярного пространства не включается требование аксиомы T1, но в определение тихоновского пространства она включается.[2]

T4Править

Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности.[1][2] Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества   и его окрестности   существует окрестность  , такая, что  .

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T4, называются нормальными пространствами.[2][6]

Иногда в определение аксиомы отделимости T4 включают требования аксиомы отделимости T1.[7][8] Также иногда в определении нормального пространства не включается требование аксиомы T1.[8]

СвойстваПравить

  • Аксиомы   ,   и   не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома  ).
  • Из аксиомы   следует аксиома  .
  • Хаусдорфовы пространства удовлетворяют аксиоме  , а значит и  .
  • Регулярные пространства являются хаусдорфовыми.
  • Вполне регулярные пространства являются регулярными.
  • Нормальные пространства являются также и вполне регулярными.
  • Компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105
  2. 1 2 3 4 5 математическая энциклопедия
  3. Энгелькинг, с.71
  4. 1 2 Келли, с.154
  5. Энгелькинг, с.73
  6. Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106
  7. Энгелькинг, с.74
  8. 1 2 Келли, с.153

ЛитератураПравить

  • О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
  • Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
  • Отделимости аксиома — статья из математической энциклопедии, автор — В.И.Зайцев

См. такжеПравить