Открыть главное меню
Пример накрытия: накрытие окружности спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство , такое, что у любой точки найдётся окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :

,

причём на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .

Формальное определениеПравить

Отображение   линейно связного пространства   на линейно связное пространство   называется накрытием, если у любой точки   имеется окрестность  , для которой существует гомеоморфизм  , где   — дискретное пространство, такое что если   обозначает естественную проекцию, то

 .

Связанные определенияПравить

  • Пространство   называется базой накрытия, а   — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
  • Прообраз   точки   называют слоем над точкой  .
  • Число областей   в полном прообразе   называется числом листов.
    • Если это число конечно и равно  , то накрытие называется  -листным.
  • Накрытие   называется универсальным если для любого другого накрытия   существут накрытие   такое, что  .

ПримерыПравить

  • Пусть   обозначает единичную окружность комплексной плоскости  .
    •  ,    .
    •  ,    , где  ,  .

СвойстваПравить

Связь с фундаментальной группойПравить

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности   и   и также локальной односвязности  . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами   и  : если  , то индуцированный гомоморфизм  , отображает   изоморфно на подгруппу в   и, меняя точку   в  , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы   (то есть   — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы   на  , причём   оказывается факторотображением на пространство орбит  . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле  ,  , сопоставить единственный путь  , для которого   и  , то точка   будет зависеть только от класса этой петли в   и от точки  . Таким образом, элементу из   отвечает перестановка точек в  . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки  . Это определяет гомеоморфизм   комутирующий с  .

 
Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия
 
Пространство неодносвязного универсального накрытия


В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в  , то есть имеется действие   на  , называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого   или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе   однозначно строится накрытие  , для которого образ   есть  .

Для любого отображения   линейно связного пространства   в   поднятие его до отображения   существует тогда и только тогда, когда образ   лежит в  . Между накрытиями   имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в  . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

ЛитератураПравить

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).