Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

ОпределениеПравить

Пусть   — топологическое пространство с отмеченной точкой  . Рассмотрим множество петель в   из  ; то есть множество непрерывных отображений  , таких что  . Две петли   и   считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия  , удовлетворяющая свойству  . Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

 

Произведением двух гомотопических классов   и   называется гомотопический класс   произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства   с отмеченной точкой   и обозначается  .

КомментарииПравить

  • Про   можно думать как о паре пространств  .
  • Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
  • Если   — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать   вместо   не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек   канонический изоморфизм между   и   существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определенияПравить

  • Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств   индуцирует отображение  , определяемое формулой  .   зависит только от гомотопического класса  , и выполняются равенства   и  . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор  .
  • Пространство   называется односвязным, если оно линейно связно и группа   тривиальна (состоит только из единицы).

ПримерыПравить

  • В   есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна,  . То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества  .
  • В одномерной сфере   (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел  .
  • Фундаментальная группа  -мерной сферы   тривиальна при всех  .
  • Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода   может быть задана образующими   с единственным соотношением:  .

СвойстваПравить

  • Если   — ретракт  , содержащий отмеченную точку  , то гомоморфизм  , индуцированный вложением  , инъективен.
    • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности  , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего  .
    • Если   — строгий деформационный ретракт  , то   является изоморфизмом.
  •   сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками   и   существует изоморфизм
     
естественный по   и  .
  • Теорема ван Кампена: Если   — объединение линейно связных открытых множеств  , каждое из которых содержит отмеченную точку  , и если каждое пересечение   линейно связно, то гомоморфизм  , индуцированный вложениями  , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение   линейно связно, то ядро гомоморфизма   — это наименьшая нормальная подгруппа  , содержащая все элементы вида   (где   индуцирован вложением  ), а потому   индуцирует изоморфизм   (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
    •   сохраняет копроизведения:   естественно по всем  .
    • (случай двух  ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что  , что является ограниченной (случаем линейно связного  ) формой сохранения толчков.

Вариации и обобщенияПравить

  • Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
  • Фундаментальным группоидом пространства   называют группоид  , объектами которого являются точки  , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом  , и если   линейно связно, то вложение   является эквивалентностью категорий.

ПримечанияПравить

  1. А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

ЛитератураПравить