Асферическое пространство

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы $\pi _{n}(X)$ кроме $n=1$ тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.

Свойства

• По теореме Уайтхеда, CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо.
• Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.
• Каждое асферическое пространство $X$ по определению является K(G,1) пространством, где $G=\pi _{1}(X)$ является фундаментальной группой $X$. Кроме того, оно является классифицирующим пространством для группы $G$, рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.
• Пусть $X$ асферическое пространство и $K$ — связный CW-комплекс.
  • Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова $K$ в $X$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём $K$.
  • Для любого гомоморфизма фундаментальных групп $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ существует непрерывное отображение $\varphi \colon K\to X$, которое индуцирует $h$. Более того, $\varphi$ единственно с точностью до гомотопии.
• Прямое произведение асферических пространств асферическое.

Примеры

• Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
• Тор любой размерности асферичен.
• Любое гиперболическое многообразие асферично.
• Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
• Дополнение узла в $\mathbb {S} ^{3}$ является асферическим по теореме о сфере
• Любое нильмногообразие асферично.
• Бесконечномерное линзовое пространство $\mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p}$ асферично.

См. также

• Существенное многообразие

Внешние ссылки

• Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.