Симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение $T^{*}M$. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если $M$ — конфигурационное пространство механической системы, то $T^{*}M$ — соответствующее ему фазовое пространство.

Определение

Дифференциальная 2-форма $\omega$ называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,

$d\omega =0,$

и для любого ненулевого касательного вектора $v\in T_{x}M$ найдётся вектор $w\in T_{x}M$ такой, что

$\omega (v,w)\neq 0.$

Многообразие $M$ с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

Замечания

• Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
• Если размерность $M$ равна $2n$, то невырожденость формы $\omega$ эквивалентна условию $\omega ^{\wedge n}\neq 0$.

Связанные определения

• Диффеоморфизм симплектических многообразий $f\colon M\to N$ называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

• Пусть $H\colon M\to \mathbb {R}$ — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции $H$ векторное поле $V_{H}$, определяемое следующим тождеством:

  $dH(X)=\omega (V_{H},X).$

  • Это определение аналогично определению градиента и иногда $V_{H}$ называется симплектическим градиентом функции $H$.
  • Поле $V_{H}$, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
  • В силу невырожденности формы $\omega$ векторное поле $V_{H}$ определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид

  ${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }},\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }},$

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом $H$ называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

• Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на $M$ в алгебру Ли и определены по правилу

$[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).$

Свойства

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид

  $\omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q}$

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):

  ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Здесь ${\mathcal {L}}_{V_{H}}$ — производная Ли по векторному полю $V_{H}$. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

• В частности, поскольку $\omega ^{\wedge n}$ — форма объёма на $M$, то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:

  ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Контактная структура

С каждым симплектическим $2n$-мерным многообразием каноническим образом связано $(2n+1)$-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого $(2n+1)$-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся $(2n+2)$-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени $k$, если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

• Симплектическое пространство

Ссылки

• Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия.
• Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-е изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.