Открыть главное меню

Градиент

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем длиннее, тем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. п. gradientis «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Другими словами, градиент — это производная по пространству, но в отличие от производной по одномерному времени, градиент является не скаляром, а векторной величиной.

С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:

  1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента;
  2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных;
  3. Строки матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г.; обозначение тоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения:

или, с использованием оператора набла,

— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например  — обозначения градиента поля: .

Содержание

ОзнакомлениеПравить

 
Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Представьте себе комнату, в которой температура задана с помощью скалярного поля T таким образом, что в каждой точке, заданной координатами (xyz) температура равняется T(xyz). (Предположим, что температура не изменяется с течением времени.) В каждой точке комнаты градиент функции T будет показывать направление, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

ОпределениеПравить

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции   координат  ,  ,   называется векторная функция с компонентами

 

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат  :

 

Если   — функция   переменных  , то её градиентом называется  -мерный вектор

 

компоненты которого равны частным производным   по всем её аргументам.

  • Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
  • Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции   в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения   даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена  , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения   при смещении на  . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

 

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат  , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку   — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

 

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

 

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

 ,

градиент можно выразить в интегральной форме:

 

здесь   — замкнутая поверхность охватывающая объём   — нормальный элемент этой поверхности.

ПримерПравить

Например, градиент функции   будет представлять собой:

 

В физикеПравить

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала, напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В естественных наукахПравить

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономикеПравить

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых важных выводов. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна-Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Геометрический смыслПравить

Рассмотрим семейство линий уровня функции  :

 

Нетрудно показать, что градиент функции   в точке   перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности  , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

Связь с производной по направлениюПравить

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции   по направлению   равняется скалярному произведению градиента   на единичный вектор  :

 

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатахПравить

 

где   — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)Править

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Цилиндрические координатыПравить

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Сферические координатыПравить

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Вариации и обобщенияПравить

  • Пусть   — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция   называется верхним градиентом   если следующее неравенство
     
выполняется для произвольной спрямляемой кривой \gamma соединяющей   и   в  .[1]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 6.2 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

ЛитератураПравить

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

СсылкиПравить