Векторный анализ

Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.

Сфера применения

править

Объектами приложения векторного анализа являются:

Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:

  1. Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
  2. Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
  3. Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.

Векторные операторы

править

Наиболее часто применяемые векторные операторы:

Оператор Обозначение Описание Тип
Градиент   Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. Скаляр   вектор
Дивергенция   Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. Вектор   скаляр
Ротор   Характеризует вихревую составляющую векторного поля. Вектор   вектор
Лапласиан   Сочетание дивергенции с градиентом. Скаляр   скаляр
Лапласиан векторный  [1] Вектор   вектор

 

 

 

 

 

Дифференциальные операции второго порядка

править
Скалярное поле   Векторное поле  
     
   
     
     

Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона   встречается два раза).[2]

Основные соотношения

править

Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.

Теорема Запись Пояснения
Теорема о градиенте   Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой.
Теорема Грина   Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром.
Теорема Стокса   Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности.
Теорема Остроградского — Гаусса   Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность.

Исторический очерк

править

Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор  набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.

Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.

См. также

править

Литература

править

Примечания

править
  1. В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
  2. В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Дифференциальные операции второго порядка".

Ссылки

править