Открыть главное меню

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам.[⇨] Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ.), где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Содержание

ОпределениеПравить

Линейное или векторное пространство   над полем   — это упорядоченная четвёрка  , где

  •   — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
  •   — поле, элементы которого называются скалярами;
  • Определена операция сложения векторов  , сопоставляющая каждой паре элементов   множества   единственный элемент множества  , называемый их суммой и обозначаемый  ;
  • Определена операция умножения векторов на скаляры  , сопоставляющая каждому элементу   поля   и каждому элементу   множества   единственный элемент множества  , обозначаемый   или  ;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1.  , для любых   (коммутативность сложения);
  2.  , для любых   (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства  ;
  4. для любого   существует такой элемент  , что  , называемый вектором, противоположным вектору  ;
  5.   (ассоциативность умножения на скаляр);
  6.   (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7.   (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
  8.  (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве   структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел   может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойстваПравить

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  3.   для любого  .
  4. Для любого   противоположный элемент   является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5.   для любого  .
  6.   для любых   и  .
  7.   для любого  .

Связанные определения и свойстваПравить

ПодпространствоПравить

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество   линейного пространства   такое, что   само является линейным пространством по отношению к определенным в   действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как  . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  1. для всякого вектора   вектор   также принадлежал   при любом  ;
  2. для всяких векторов   вектор   также принадлежал  .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов   вектор   также принадлежал   для любых  .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространствПравить

  • Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
  • Сумма подпространств   определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов  :
     .
    • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинацииПравить

Конечная сумма вида

 

называется[3] линейной комбинацией элементов   с коэффициентами  .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

  • нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1[4],
  • выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
  • сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис. РазмерностьПравить

Векторы   называются[5] линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

 

при некоторых коэффициентах   причём хотя бы один из коэффициентов   отличен от нуля.

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из   называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом  .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

  • Любые   линейно независимых элементов  -мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор   можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
 .

Линейная оболочкаПравить

Линейная оболочка   подмножества   линейного пространства   — пересечение всех подпространств  , содержащих  .

Линейная оболочка является подпространством  .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным  . Говорят также, что линейная оболочка   — пространство, натянутое на множество  .

Линейная оболочка   состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из  . В частности, если   — конечное множество, то   состоит из всех линейных комбинаций элементов  . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если   — линейно независимое множество, то оно является базисом   и тем самым определяет его размерность.

ПримерыПравить

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций   с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности  .
  • Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
  • Любое поле является одномерным пространством над собой.
  • Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структурыПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
  • Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.