Открыть главное меню

Флаг (математика)

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

где

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором , и следовательно, число Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полный флагПравить

Полным флагом в векторном пространстве   конечной размерности   называется последовательность подпространств

 

где подпространство   состоит лишь из нулевого вектора, подпространство   совпадает со всем    , и каждая пара соседних подпространств   является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство   разбивает  , выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

 
Базисы   и   задают один и тот же флаг на плоскости

Каждый базис   векторного пространства   определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим   (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары   выберем то полупространство, которое содержит вектор  .

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы   и   на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство   является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства   существует единственное ортогональное преобразование  , переводящее первый флаг во второй.

Флаги в аффинных пространствах и геометрии ЛобачевскогоПравить

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности  :

 

где подпространство   состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство   совпадает со всем    , и каждая пара   является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.[1]

ГнездоПравить

В бесконечномерном пространстве V идея флага обобщается до гнезда. А именно, набор подпространств, вполне упорядоченных по включению замкнутых подпространств, называется гнездом[en].

ЛитератураПравить

  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

ПримечанияПравить

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. XII, § 1. — М.: Физматлит, 2009.