Открыть главное меню

Двойственное пространство (иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Содержание

ОпределениеПравить

Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве  , также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к  , оно обычно обозначается  . Множество всех линейных функционалов на  , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к  , оно обычно обозначается   [1].

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство   конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство   состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на  . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда   бесконечномерное, вообще говоря,  [1].

В тензорном исчислении применяется обозначение   для элементов   (верхний, или контравариантный, индекс) и   для элементов   (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображенияПравить

Двойственное отображениелинейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть   — векторные пространства, а   — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения   двойственное отображение   (в обратном порядке) определяется как

 

для любого  .

СвойстваПравить

Конечномерные пространства[2]Править

  • Сопряжённое пространство   имеет ту же размерность, что и пространство   над полем  . Следовательно, пространства   и   изоморфны.
  • Каждому базису   пространства   можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис   пространства  , где функционал   — проектор на вектор  :
 
  • Если пространство   евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между   и   существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением
 
  • Второе сопряжённое пространство   изоморфно  . Более того, существует канонический изоморфизм между   и   (при этом не предполагается, что пространство   евклидово), определённый соотношением
 
  • Определенный выше канонический изоморфизм   показывает, что пространства   и   играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для   часто пишут   подобно записи скалярного произведения.

Бесконечномерные пространстваПравить

  • Если векторное пространство   нормированное, то сопряжённое пространство   имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство   — банахово[3][1].
  • Если пространство   гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между   и  , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства  [4].
  • Сопряжённым к пространству  ,  , является пространство  , где  . Аналогично, сопряжённым к  ,  , является   с тем же соотношением между p и q.

Вариации и обобщенияПравить

  • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство  , совпадающее с   как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
     
  • При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 7. — М.: Физматлит, 2009.
  3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965, стр. 147.
  4. Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.

ЛитератураПравить