Теорема Риса о линейном функционале

Теорема Риса о линейном функционале (также теорема Риса — Фреше) — утверждет, что каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с некоторым элементом. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $f$ — линейный ограниченный функционал на $H$. Тогда существует единственный элемент $y\in H$, такой, что

$f(x)=\langle y,x\rangle$

для любого $x\in H$. Более того,

$\|y\|=\|f\|\mathrel {:=} \sup _{x\neq 0}\left\{\,{\tfrac {\|f(x)\|}{\|x\|}}\,\right\}.$

См. также

• Теорема Лакса — Мильграма