Открыть главное меню

Общая формулировкаПравить

Пусть на ориентируемом многообразии   размерности   заданы ориентируемое  -мерное подмногообразие   и дифференциальная форма   степени   класса   ( ). Тогда, если граница подмногообразия   положительно ориентирована, то

 

где   обозначает внешний дифференциал формы  .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия  .

Частные случаиПравить

Формула Ньютона — ЛейбницаПравить

Пусть дана кривая  , соединяющая две точки   и   (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма   нулевой степени класса   — это дифференцируемая функция  . Формула Стокса тогда записывается в виде

 

Теорема ГринаПравить

Пусть   — плоскость, а   — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах   и   — это выражение  , и для интеграла этой формы по границе области   верно

 

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — СтоксаПравить

Пусть   — кусочно-гладкая поверхность ( ) в трёхмерном евклидовом пространстве ( ),   — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура   равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность  , ограниченную контуром:

 

или в координатной записи:

 

Формула Остроградского — ГауссаПравить

Пусть теперь   — кусочно-гладкая гиперповерхность ( ), ограничивающая некоторую область   в  -мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области  :

 

В трёхмерном пространстве   с координатами   это эквивалентно записи:

 

или

 

ЛитератураПравить

См. такжеПравить