Подмногообразие

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Топологическое подмногообразиеПравить

В узком смысле слова топологическое  -мерное подмногообразие   топологического  -мерного многообразия   ― такое подмножество  , которое в индуцированной топологии является  -мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое  -мерное подмногообразие топологического  -мерного многообразия   ― такое  -мерное многообразие  , которое как множество точек является подмножеством   (иными словами,   ― это подмножество  , снабженное структурой  -мерного многообразия) и для которого тождественное вложение   является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда   есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки   имеется сколь угодно малые окрестности в  , являющиеся пересечениями с   некоторых окрестностей в  ).

Связанные определенияПравить

  • Число   называется коразмерностью подмногообразия  .
  • Подмножество   является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки   имеются такая окрестность   этой точки в   и такие локальные координаты   в ней, что в терминах этих координат   описывается уравнениями  .
    • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

Алгебраическая геометрияПравить

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от   к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.