Открыть главное меню

Индуцированная топология

Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология. Пусть также  . Определим   — семейство подмножеств   следующим образом:

 

Несложно проверить, что   является топологией на  . Эта топология называется индуцированной топологией  . Топологическое пространство   называется подпростра́нством  .

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть   – произвольное множество,   – топологическое пространство и   – произвольное отображение   в  . Тогда в качестве   возьмем всевозможные множества вида  ( ), где   – открытые множества в  . Топология   называется индуцированной отображением   топологией. Она хороша тем, что отображение   в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства  , для которых отображение   будет непрерывным.

ПримерПравить

Пусть дана вещественная прямая   со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел  , является дискретной.