Граница (топология)

Грани́ца мно́жества Aмножество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология. Пусть   Точка   называется грани́чной то́чкой мно́жества  , если для любой её окрестности   справедливо:

 

Множество всех граничных точек множества   называется границей множества   или границей множества   в   и обозначается   или   если необходимо подчеркнуть, что   рассматривается как подмножество объемлющего пространства  .

СвойстваПравить

  •  
  •  
  •  замкнутое множество;
  •  открытое множество тогда и только тогда, когда  
  •   — замкнутое множество тогда и только тогда, когда  
  •   — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда  
  •  , причем равенство   достигается тогда и только тогда, когда  
  •  

ПримерыПравить

Рассмотрим числовую прямую   со стандартной топологией. Тогда: для  :

  • Для  :  
  •  
  •  

См. такжеПравить