Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

  • фазовый потокпоток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением .

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхностьПравить

Поток векторного поля через поверхностьповерхностный интеграл второго рода по поверхности  . По определению,

 ,

где   — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства),  единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы   было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль),   — элемент поверхности.

В трёхмерном случае  , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

 .

тогда поток записывается в виде

 .

Размерность потока — это размерность величины  , домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примерыПравить

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения  . Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность  , будет равен потоку векторного поля  .

Если плотность равна  , то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины  :

 .
Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

  и  .

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

  и  ,

где  электрический заряд, а поток вектора   нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

 

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем  , поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях   имеет структуру  , где   обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м3, заряда в Кл3, энергии в Дж3 и т.д.), а   — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока  ,  ), подобное название не имеет смысла.

См. такжеПравить