Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом [1], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

ОпределениеПравить

Векторный оператор Лапласа векторного поля   определяется следующим образом:

  [2].
 .

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля   можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля  :

  [1],

где  ,  ,   — компоненты векторного поля  .

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

ОбобщениеПравить

Лапласиан любого тензорного поля   (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

 .

В случае если   — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если   — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

 ,

где   (общий вид компоненты тензора),   и   могут принимать значения из множества  .

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

 .

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физикеПравить

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости[3]:

 ,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей   представляет собой вязкость жидкости.

ЛитератураПравить

  • Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Хмельник, 2010, Приложение 1.
  2. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Хмельник, 2010, Глава 2.