Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом [1], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

[2]

ОпределениеПравить

Векторный оператор Лапласа векторного поля   определяется следующим образом:

  [3].
 .

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля   можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля  :

  [1],

где  ,  ,   — компоненты векторного поля  .

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

ОбобщениеПравить

Лапласиан любого тензорного поля   (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

 .

В случае если   — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если   — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

 ,

где   (общий вид компоненты тензора),   и   могут принимать значения из множества  .

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

 .

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физикеПравить

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости[4]:

 ,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей   представляет собой вязкость жидкости.


Уравнения плоской электромагнитной волны:

 [5]

 

ЛитератураПравить

  • Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.
  • В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
  • И.В.Савельев "Курс общей физики" том II

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Хмельник, 2010, Приложение 1.
  2. В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
  3. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Хмельник, 2010, Глава 2.
  5. И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Волновое уравнение" стр. 398