Дифференциальные операторы в различных системах координат

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в различных системах координат.

Общее выражениеПравить

Общее выражение для оператора ∇ в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:

 ,

где " " - любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇:

  • " " - градиент;
  • " · " - дивергенция;
  • " × " - ротор.

Элементы   в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:

 

Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной   по проекции радиус-вектора от всего вектора   (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на  .

При этом достаточно знать выражения:

  • в цилиндрических координатах:   и  ;
  • в сферических координатах:  ,  ,  ,   и  .

Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:

 

 

 

Таблица операторовПравить

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус-вектором точки, φ — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат
Оператор Прямоугольные координаты
(x, y, z)
Цилиндрические координаты
(ρ, φ, z)
Сферические координаты
(r, θ, φ)
Параболические координаты
(σ, τ, z)
Формулы преобразования координат        
       
Радиус-вектор произвольной точки        
Связь единичных векторов        
      .
Векторное поле          
Градиент          
Дивергенция          
Ротор          
Оператор Лапласа          
Векторный оператор Лапласа         ?
Элемент длины        
Элемент ориентированной площади        
Элемент объёма        

Некоторые свойстваПравить

Выражения для операторов второго порядка:

  1.   (Оператор Лапласа)
  2.  
  3.  
  4.  

(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)

  1.  

См. такжеПравить